Introduzione alle equazioni differenziali. Meccanica lagrangiana per i sistemi liberi e vincolati. Principi variazionali. Cinematica e dinamica dei sistemi rigidi. Introduzione alla meccanica hamiltoniana
Dispense del corso e delle esercitazioni disponibili sulla piattaforma moodle.
Fasano Marmi, Meccanica Analitica, Bollati Boringhieri
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
Introduzione alla modellazione matematica di fenomeni naturali complessi e al loro trattamento con strumenti matematici avanzati, muovendosi nell'ambito della meccanica classica.
Competenze e capacita’ acquisite (al termine del corso)::
Scrivere le equazioni di moto di sistemi meccanici, discuterne la risolubilita’.
Essere capaci di impostare il modello matematico di semplici sistemi meccanici e studiare i relativi problemi matematici.
Studio personale e altre attivita’ formative di tipo individuale: ore 174
Lezioni in aula: ore 60
Lezioni in laboratorio: 0
Esercitazioni: ore 60
Attivita’ seminariali: 0
Stage: 0
Numero di ore per prove in itinere: 6
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni: Raccomandata
Dispense ed esercizi: UniFi E-Learning: http://e-l.unifi.it
Orario di ricevimento del Dr. Farina, su appuntamento
Dipartimento di Matematica e Informatica "Ulisse Dini"
Viale Morgagni, 67/a
50134 - Firenze (FI)
Tel: 055 2751435
E-Mail: farina@math.unifi.it
Modalità di verifica apprendimento
Prova scritta e orale
Programma del corso
1 Cinematica dei sistemi rigidi
1.1. Introduzione
1.2 Moti rigidi
1.3 Asse istantaneo di moto, rigate del moto
1.4 Cinematica relativa: composizione delle velocita’
1.5 Composizione di moti rigidi
1.6 Angoli di Eulero
1.7 Cinematica relativa: l’accelerazione
2 Equazioni differenziali
2.1 Considerazioni generali
2.2 Il problema di Cauchy
2.2.1 Equazioni autonome
2.2.2 Equazioni reversibili
2.3 Equazioni integrabili
2.3.1 Il caso “conservativo”
2.3.2 Analisi qualitativa nel caso conservativo
2.4 Il piano delle fasi
2.5 Punti di equilibrio, stabilita’
2.5.1 Il criterio di Lyapunov
2.5.2 Asintotica stabilita’
2.5.3 I sistemi conservativi
2.6 Approssimazione del periodo nei punti di equilibrio
2.7 Sistemi lineari bidimensionali
2.7.1 Moto armonico smorzato e forzato
2.8 Stabilita’ lineare
3 Equazioni di Lagrange
3.1 Equazioni di Lagrange per un punto materiale
3.2 Il moto centrale
3.2.1 L’equazione per r
3.2.2 Il problema di Keplero
3.2.3 L’orbita del problema di Keplero
3.2.4 La terza legge
4 I sistemi vincolati e coordinate lagrangiane
4.1 Sistemi olonomi
4.1.1 Atti di moto virtuali
4.1.2 Spostamenti virtuali in funzione delle coordinate lagrangiane
4.1.3 Punto vincolato a una superficie qualsiasi
5 Le equazioni di moto
5.1 Il punto vincolato
5.2 L’equazione simbolica della dinamica e della statica
5.3 Le equazioni di Lagrange
5.3.1 Risolubilita’ delle equazioni di Lagrange
5.3.2 Invarianza delle equazioni di Lagrange
5.3.3 Coordinate cicliche
5.3.4 La conservazione dell’energia
5.4 Equilibrio
5.4.1 Stabilita’
5.5 Piccole Oscillazioni
5.5.1 Soluzione delle equazioni delle piccole oscillazioni
5.5.2 Dimostrazione del Teorema spettrale
6 Dinamica dei sistemi rigidi
6.1 Le equazioni cardinali
6.2 Le equazioni cardinali per i rigidi
6.3 Espressione di L e T per i rigidi: il tensore d’inerzia
6.3.1 Espressione del momento della quantita’ di moto
6.3.2 Significato dei momenti
6.3.3 L’energia cinetica
6.4 Le precessioni per inerzia
6.4.1 Le equazioni di Eulero
6.5 Il moto a’ la Poinsot
6.6 Il giroscopio pesante
7 Principi variazionali
7.1 La brachistocrona
7.2 L’equazione di Eulero-Lagrange
7.3 Il principio di Hamilton
7.4 Il principio di minima azione
7.4.1 Coordinate cicliche
8 Il sistema canonico
8.1 Le parentesi di Poisson
8.2 Derivazione variazionale delle equazioni di Hamilton
8.3 Trasformazioni canoniche