Elementi di calcolo combinatorio. Probabilità uniforme su insiemi finiti. Misure di probabilità: eventi, sigma-algebre, misure. Probabilità condizionata. Variabili aleatorie, distribuzione e legge. Integrale e distribuzione. Valore atteso, varianza, disuguaglianze di Markov e di Chebyshev. Distribuzioni discrete e assolutamente continue. Variabili aleatorie vettoriali. Covarianza, coefficiente di correlazione. Indipendenza stocastica. Leggi dei grandi numeri. Speranze condizionate.
Giuseppe Modica, Laura Poggiolini Note di Calcolo delle Probabilità. Pitagora Editrice.
Ambrosio - Da Prato - Mennucci, SNS Lecture Notes
Sempi - Introduzione alla Probabilità
Sempi - Secondo Corso di Probabilità
Obiettivi Formativi
Conoscenze: lo studente avra' una conoscenza di base della teoria elementare della probabilita' e di numerosi esempi ed applicazioni. Avra' inoltre affrontato varie questioni sui fondamenti della probabilita' e sulle prime difficolta' nell'utilizzo della teoria.
Competenze acquisite:
Lo studente sapra' risolvere numerosi problemi elementari di calcolo delle probabilita' sia discrete che continue.
Prerequisiti
Insegnamenti contenenti i prerequisiti (vincolanti e/o consigliati)
Corsi vincolanti: Analisi Matematica II
Corsi raccomandati: Analisi Matematica III
Metodi Didattici
Lezione frontale
Modalità di verifica apprendimento
Prova scritta e orale.
La prova scritta può essere sostituita da prove in itinere
Programma del corso
Elementi di calcolo combinatorio: permutazioni, liste e funzioni, estrazioni e collocazioni.
Probabilità uniforme su insiemi finiti.
Misure di probabilità: eventi, sigma-algebre, misure. Probabilità su insiemi finiti, su insiemi numerabili. Probabilità uniforme su un intervallo.
Probabilità condizionata: formula di Bayes e formula delle probabilità totali
Variabili aleatorie: definizione, distribuzione e legge. Classi tipiche di variabili aleatorie.
Integrale e distribuzione. Valore atteso. Integrale di composizione di variabili aleatorie.
Formula di Cavalieri. Varianza, disuguaglianze di Markov e di Chebyshev.
Esempi di distribuzioni discrete: delta di Dirac, distribuzione di Bernoulli su una prova.
Distribuzione prodotto su n prove di Bernoulli e su infinite prove di Bernoulli. Distribuzione binomiale. Distribuzione ipergeometrica. Distribuzione binomiale negativa. Distribuzione di Poisson. Proprietà degli eventi rari. Distribuzione geometrica e geometrica modificata. Assenza di memoria.
Esempi di distribuzioni assolutamente continue: distribuzione uniforme. Distribuzione normale. Distribuzione esponenziale. Mancanza di memoria. Distribuzione Gamma.
Variabili aleatorie a valori vettoriali: distribuzione congiunta e distribuzioni marginali.
Composizione. Covarianza, coefficiente di correlazione. Indipendenza stocastica: eventi indipendenti, variabili aleatorie indipendenti. Distribuzione della somma di variabili aleatorie indipendenti.
Legge dei grandi numeri: convergenza di successioni di variabili aleatorie. Legge debole dei grandi numeri. Lemma di Borel Cantelli e legge forte dei grandi numeri. Metodo
Montecarlo.
Se ci rientriamo con i tempi: Speranze condizionate. Funzione caratteristica e Teorema
del limite centrale. Introduzione alle catene di Markov.