Equazioni del primo ordine: derivazione. Metodo delle caratteristiche, soluzoni discontinue.
Equazione delle onde: soluzione di d'Alembert, corda finita. Formula di Kirchhoff.
Equazione del calore: principio di massimo debole, unicità in domini limitati, soluzione del problema di Cauchy, "unicità".
Equazione di Laplace: principi di massimo, unicita’, proprieta’ della media e conseguenze. Soluzione nella sfera. Metodo Perron.
Dispense del corso e delle esercitazioni disponibili sulla pagina web del corso.
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
Introduzione alla modellazione matematica di fenomeni naturali descritti da equazioni alle derivate parziali
Competenze acquisite:
Conoscenza delle soluzioni classiche delle EDP.
Capacita’ acquisite (al termine del corso):
Essere capaci di impostare il modello matematico continuo e discuterne le implicazioni matematiche e trarne informazioni sulla situazione modellata.
Prerequisiti
Corsi vincolanti: Analisi Matematica I, Analisi Matematica II, Geometria I.
Corsi raccomandati: Fisica I, Sistemi dinamici
Metodi Didattici
CFU: 6
Numero di ore totali del corso: 130
Numero di ore per studio personale e altre attivita’ formative di tipo individuale: 82
Numero di ore relative alle attivita’ in aula: 48
Numero di ore relative ad attivita’ di laboratorio (lezioni in laboratorio): 0
Numero di ore relative ad attivita’ di esercitazioni (in laboratorio e in campo): 0
Numero di ore relative ad attivita’ seminariali: 0
Numero di ore relative ad attivita’ di stage: 0
Numero di ore per prove in itinere: 0
Altre Informazioni
Orario di ricevimento: vedi pagina web del docente
http://www.dma.unifi.it/~minguzzi/DidatticaMain.html
Modalità di verifica apprendimento
Orale. Si chiede allo studente di spiegare alcune dimostrazioni affrontate in classe. Si verifica poi l'acquisizione dei concetti con la richiesta di applicare i risultati teorici ad alcuni semplici esercizi.
Programma del corso
Equazioni del primo ordine: derivazione. Metodo delle caratteristiche, leggi di conservazione, soluzoni discontinue.
Equazione delle onde: derivazione dell'equazione della corda vibrante. Equazione unidimensionale: problema di Cauchy (corda infinita). Soluzione di d'Alembert: zone di influenza dei dati iniziali. Problema della corda finita: soluzione via riflessioni e cenni al metodo di Fourier. L'equazione in dimensione tre: medie sferiche e soluzione per il problema di Cauchy in tre dimensioni: formula di Kirchhoff.
Equazione del Calore: derivazione dell'equazione dalla legge di conservazione. Principio di massimo e unicita’ del problema di Dirichlet in un dominio limitato. Soluzione del problema di Cauchy e formula di Poisson. Unicita’ "condizionata" del problema di Cauchy.
Equazione di Laplace. Principio di massimo debole e unicita’ del problema di Dirichlet in un dominio limitato.
Condizione necessaria per l'esistenza della soluzione del problema di Neumann. Lemma di Hopf e "unicita’" del problema di Neumann. Proprieta’ della media per le funzioni armoniche. Principio di massimo forte e conseguenze. Teorema di Liouville. Diseguaglianza e teoremi di Harnack. Metodo di Perron per l'esistenza della soluzione del problema di Dirichlet.