Lo spazio R^n.
Spazi vettoriali.
Matrici.
Applicazioni lineari.
Applicazioni lineari e matrici.
Determinanti.
Prodotti scalari e ortogonalità.
Matrici e applicazioni bilineari.
Polinomi e matrici.
Triangolazione di matrici e di applicazioni lineari.
Il teorema spettrale.
La forma canonica di Jordan.
Geometria proiettiva.
Geometria affine.
Geometria euclidea.
Coniche e quadriche.
Il Corso intende fornire conoscenze e capacita` tecniche di base in Algebra lineare e Geometria Analitica e Proiettiva. Gli argomenti sviluppati nel Corso e le capacita` tecniche messe a punto sono necessarie, o comunque molto importanti per il proseguimento degli studi.
Prerequisiti
Nessuno
Metodi Didattici
Lezioni frontali, esercitazioni.
Modalità di verifica apprendimento
Prove scritte intermedie, Prova finale scritta e orale.
Programma del corso
Lo spazio R^n. Punti del n-spazio; vettori applicati; prodotto scalare canonico; norma di un vettore; perpendicolarità e parallelismo; distanza; geometria euclidea del n-spazio; rette, piani, iperpiani.
Spazi vettoriali. Insiemi di vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti; basi di uno spazio vettoriale; dimensione di uno spazio vettoriale; somme di spazi vettoriali; somme dirette d spazi vettoriali.
Matrici. Lo spazio vettoriale delle matrici; somma e prodotto righe per colonne tra matrici; equazioni lineari; sistemi lineari e matrici; l'algoritmo di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari.
Applicazioni lineari. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare; dimensione del nucleo e dell'immagine; composizione di applicazioni lineari.
Applicazioni lineari e matrici. Applicazione lineare associata ad una matrice; matrice associata ad un'applicazione lineare; composizione di applicazioni lineari e matrici.
Determinanti. Determinanti del secondo ordine; Proprietà dei determinanti; regola di Cramer; esistenza dei determinanti; unicità; determinante della trasposta di una matrice; determinante di un prodotto di matrici; inversa di una matrice; determinante di un'applicazione lineare.
Prodotti scalari e ortogonalità. Prodotti scalari; prodotti scalari definiti positivi; basi ortogonali nel caso generale; spazio duale; caratteristica di una matrice e sistemi di equazioni lineari.
Matrici e applicazioni bilineari. Forme bilineari; forme quadratiche; operatori simmetrici; operatori hermitiani; teorema di Sylvester.
Polinomi e matrici. Polinomi di matrici e di applicazioni lineari; autovettori e autovalori; polinomio caratteristico.
Triangolazione di matrici e di applicazioni lineari. Ventagli; basi a ventaglio; esistenza delle triangolazioni; teorema di Hamilton Cayley; diagonalizzazione di matrici unitarie.
Il teorema spettrale. Autovettori di applicazioni lineari simmetriche; il teorema spettrale; il caso complesso.
La forma canonica di Jordan. Autospazi generalizzati relativi ad un applicazione lineare; forma canonica di Jordan per un'applicazione nilpotente; base di Jordan per un'applicazione nilpotente; base di Jordan e forma canonica di Jordan per un'applicazione lineare.
Geometria proiettiva. Spazi proiettivi; sottospazi proiettivi; il gruppo delle trasformazioni proiettive; punti in posizione generica; teorema di Desargues; teorema di Pappo; dualità.
Quadriche. Forme quadratiche; coniche e quadriche; polarità associata ad una conica; classificazione proiettiva delle coniche; fasci di coniche.
Geometria affine. Il piano affine e lo spazio affine; il gruppo delle affinità; classificazione affine delle coniche.
Geometria euclidea. Il gruppo delle isometrie; classificazione euclidea delle coniche.