Errori e aritmetica finita; condizionamento e stabilita'. Interpolazione e approssimazione polinomiale e spline. Formule di quadratura di Newton-Cotes e composite; quadratura adattativa. Equazioni non lineari: metodi di bisezione, Newton, quasi- Newton. Sistemi lineari: fattorizzazione LU, e variante con pivoting; metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel; fattorizzazione QR; minimi quadrati lineari. Metodo di Newton per sistemi non lineari. Introduzione al MATLAB.
- L. Brugnano, C. Magherini, A. Sestini, Calcolo Numerico, Master, Università e Professioni, Terza Edizione, Firenze 2014.
- Bini, Capovani, Menchi, Metodi Numerici per l'Algebra Lineare, Ed. Zanichelli, Bologna, 1993.
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
metodi numerici per la risoluzione mediante computer di basilari problemi matematici (equazioni e sistemi lineari e non, approssimazione di dati e funzioni, calcolo di integrali definiti) ponendo una particolare attenzione agli aspetti legati alla realizzazione e all'utilizzo di tali metodologie sul calcolatore.
Competenze acquisite:
aritmetica finita; metodi numerici classici per risolvere i problemi matematici considerati.
Capacita' acquisite (al termine del corso):
capacita' di formulare algoritmi e di utilizzare l'ambiente Matlab per risolvere numericamente i problemi matematici considerati; Capacita' di interpretare i risultati numerici ottenuti e di valutare le prestazioni di un algoritmo numerico.
Prerequisiti
Corsi vincolanti: Analisi I, Geometria I.
Metodi Didattici
Lezioni frontali: esposizione critica della teoria in programma, con interazione diretta docente-studente.
Esercitazioni in aula informatica: sessioni pratiche per imparare a risolvere numericamente i problemi matematici in ambiente Matlab.
Le esercitazioni sono svolte in modo da:
- aiutare gli studenti a sviluppare le capacità di applicare le conoscenze acquisite;
- migliorare la loro autonomia di giudizio, in particolare nella interpretazione dei risultati forniti dal calcolatore.
Altre Informazioni
I testi per le esercitazioni in laboratorio e eventuale materiale integrativo saranno forniti attraverso la piattaforma Moodle.
Modalità di verifica apprendimento
Prova pratica in Matlab e colloquio sul programma svolto.
La prova Matlab consiste in due prove intermedie (o una prova finale): sono proposti vari esercizi (solitamente tre per ciascuna prova intermedia, quattro per la prova finale). Gli esercizi sono strutturati in modo da valutare le capacità degli studenti di applicare alla soluzione di problemi specifici le conoscenze teoriche e tecniche acquisite. Vengono valutate con particolare attenzione sia la correttezza dei procedimenti seguiti, sia la capacita' di interpretare i risultati numerici ottenuti.
Prova orale: vengono poste alcune domande sul programma svolto. La prova è strutturata per verificare la conoscenza e il grado di comprensione della teoria svolta nel corso. Vengono valutate con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l'uso di un linguaggio matematico appropriato.
Programma del corso
Metodi numerici e algoritmi: definizioni. Analisi degli errori in un processo numerico: errori analitici (di discretizzazione e di convergenza) e algoritmici; aritmetica in virgola mobile e precisione finita; condizionamento e stabilita'.
Interpolazione polinomiale e spline: forma di Lagrange e forma di Newton del polinomio interpolante, errore di interpolazione, condizionamento del problema, ascisse di Chebyshev; funzioni spline, spline cubiche interpolanti nei nodi. Approssimazione polinomiale ai minimi quadrati.
Integrazione numerica: formule di Newton-Cotes; formule composite; analisi dell'errore e condizionamento; formule adattive.
Risoluzione di equazioni non lineari: condizionamento del problema; metodo di bisezione, metodi di punto fisso, metodo di Newton e metodi di quasi-Newton; proprieta' di convergenza e questioni algoritmiche.
Metodi diretti per sistemi lineari: fattorizzazione LU, variante con pivoting. Fattorizzazione LDL^T; analisi dell'errore. Metodo di Newton per sistemi non lineari. Trasformazioni di Householder e fattorizzazione QR di una matrice rettangolare. Sistemi lineari sovradeterminati: metodo della fattorizzazione QR.
Metodi iterativi per sistemi lineari: definizione e analisi di convergenza; metodi di splitting (Jacobi e Gauss-Seidel).
Introduzione all'ambiente di programmazione MATLAB.