B018817 - CALCOLO DELLE PROBABILITA'

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Modelli discreti e continui: variabili aleatorie loro distribuzioni esempi e applicazioni. Funzioni di ripartizione e di densità, leggi congiunte, indipendenza, e probabilità condizionata. Momenti, funzioni generatrici della probabilità e funzioni caratteristiche. Convergenza e approssimazione: Legge dei grandi numeri, teorema del limite centrale e collegamenti alla statistica. Processo di Poisson.

Adottato:
-Baldi, Calcolo delle probabilita`
Consigliati:
-S. Ross, Calcolo delle probabilita`
-Caravenna e Dai Pra, Probabilità

Il Corso ha l’obiettivo di fornire agli studenti le conoscenze, la capacità di comprensione e applicazione dei concetti e risultati su variabili casuali discrete e continue per calcolare delle probabilità richieste da situazioni concrete e calcolare le leggi (o distribuzioni) di variabili aleatorie unidimensionali e multidimensionali per modelli noti e per variabili casuali che non rientrano nei modelli noti. Corso ha l’obiettivo di fornire agli studenti conoscenze e capacità di comprensione dei teoremi limite con la loro dimostrazione ed di essere in grado di applicarli a problemi concreti per eeffettuare stime di probabilità che non possono essere calcolate esattamente.
Il Corso ha l’obiettivo di fornire le conoscenze e la capacità di comprensione dei processi di Poisson e le catene di Markov con spazio degli stati finiti che sono alla base del metodo Monte Carlo. Il corso intende anche sviluppare le capacità tecniche di base e le capacità critiche necessarie per applicare le conoscenze acquisite al fine di risolvere esercizi che richiedono la modellizzazione di una situazione concreta con questi processi. Particolare attenzione viene posta a sviluppare negli studenti le abilità comunicative necessarie per esprimere le conoscenze acquisite in linguaggio matematico corretto e per giustificare in modo chiaro e logico gli esercizi svolti.

Derivazione e integrazione di funzioni in una o piu` variabili. Nozioni di base di algebra lineare e saper operare con le matrici.

Lezione frontale, discussione e correzione di esercizi assegnati per casa.

L'esame consiste in uno scritto ed un orale per sessione. Nello scritto saranno presenti domande aperte in cui lo studente dovra` dimostrare di saper applicare i risultati spiegati a lezione per risolvere problemi, dandone giustificazione usando formule e un linguaggio scientifico corretto. In particolare, lo studente dovra` saper distinguere a seconda del problema quali modelli probabilistici sono piu` adatti alla situazione concreta presentata nell'esercizio.
Nell' orale lo studente dovra` esporre le definizioni, gli enunciati e le dimostrazioni dei risultati spiegati durante le lezioni, con lo scopo di verificare la conoscenza, comprensione e la capacita` di apprendimento. Sara` inoltre valutata la qualita` dell'esposizione ddei risultati e il linguaggio matematico, rigoroso utilizzato.
Inoltre, agli studenti che lo scelgono, sara` data la possibilita` di effettuare prove parziali che, se superate entrambe, permetteranno di essere esonerati dallo scritto.

-Spazi di probabilita`: Definizione di spazi di probabilita`, anche nel caso uniforme, proprieta` generali, probabilita` condizionale, indipendenza, calcolo combinatorio.

-Modelli discreti: variabili aleatorie discrete e loro distribuzioni, funzioni di ripartizione, leggi congiunte e indipendenza, calcoli con densita`, speranza matematica, momenti, varianza e covarianza, legge dei grandi numeri, funzioni generatrici delle probabilita`. Distribuzione discreta uniforme, Bernoulli, binomiale, Poisson, geometrica, ipergeometrica,binomiale negativa, multinomiale,

-Modelli continui: variabili aleatorie continue, loro densita` e loro funzione di ripartizione con proprieta`. Calcolo di leggi, densita` congiunte e calcolo con densita` congiunte, speranza matematica, momenti. Leggi normali, Gamma. Tempi di attesa e processo di Poisson. Generatori aleatori, simulazione. Speranza condizionale, funzione generatrici di momenti e trasformata di Laplace. Funzioni caratteristiche e Leggi normali multivariate.

-Convergenza e approssimazione. Legge dei grandi numeri, convergenza in legge e teorema del limite centrale. Cenni alla statistica e ai problemi di stima puntuale, di intervallo e Test d'ipotesi.


-Catene di Markov, definizioni e generalita`, calcolo di leggi congiunte, classificazione degli stati, probabilita` invarianti, L'algoritmo di Metropolis, simulated annealing, problemi di passaggio.