Successioni e serie di funzioni.
Funzioni di piu' variabili reali: limiti, derivate, integrali. Teorema della funzione implicita. Curve e superfici, integrali curvilinei e di superficie. Formule di Gauss-Green e teorema della divergenza.
Equazioni differenziali ordinarie, del primo ordine e di ordine superiore, lineari e non lineari.
C. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 2, ed. Zanichelli
Obiettivi Formativi
Il Corso ha l'obiettivo di fornire agli studenti conoscenze e capacità di comprensione in Analisi Matematica di livello più avanzato rispetto al corso di Analisi Matematica I. Il corso intende anche sviluppare le capacità tecniche di base e le capacità critiche necessarie per applicare le conoscenze acquisite alla modellizzazione e risoluzione di problemi matematici in vari ambiti. Particolare attenzione viene posta a sviluppare negli studenti le abilità comunicative necessarie nel lavoro di squadra. Il corso copre argomenti e fornisce capacità di apprendimento che sono necessari, o fortemente consigliati, per il proseguimento degli studi nel CdS e in qualunque ambito scientifico.
Prerequisiti
Numeri reali. Successioni. Funzioni reali di variabile reale.
Limiti di funzioni. Funzioni continue. Calcolo differenziale. Calcolo integrale. Serie numeriche.
Metodi Didattici
Lezioni frontali: esposizione critica della teoria in programma, con interazione diretta docente-studente per facilitare e assicurare la piena comprensione della materia.
Esercitazioni: guida per gli studenti alla modellizzazione e risoluzione di una vasta scelta di problemi di analisi matematica.
Le esercitazioni sono condotte in modo da:
-- aiutare gli studenti a sviluppare le capacità di applicare e comunicare le conoscenze acquisite;
-- migliorare la loro indipendenza di giudizio.
Sono diffuse raccolte di esercizi e di esempi di testi di prove d'esame.
Modalità di verifica apprendimento
Prove intermedie e prova finale scritta: Viene proposta una scelta di esercizi. Le prove sono strutturate per valutare la capacità degli studenti di applicare le conoscenze teoriche e tecniche da loro acquisite alla modellizzazione e alla soluzione di problemi. Vengono valutate con particolare attenzione sia la correttezza dei procedimenti seguiti, sia l'originalità dei metodi adottati e la loro efficacia.
Prova orale: Vengono poste alcune domande. La prova è strutturata per verificare la conoscenza e il grado di comprensione della teoria svolta nel corso. Vengono valutate con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l'uso di un linguaggio matematico appropriato.
Programma del corso
Successioni di funzioni; convergenza puntuale e uniforme. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata; continuita' del limite uniforme di successioni di funzioni continue. Serie di funzioni; convergenza puntuale, uniforme e totale. Serie di potenze; sviluppo in serie di Taylor; funzioni analitiche e loro proprieta'.
Funzioni di piu' variabili; continuita', derivate parziali; differenziabilita'. Ottimizzazione per funzioni di piu' variabili; studio dei punti critici e massimi e minimi locali. Cenni di teoria della misura nello spazio euclideo n-dimensionale. Integrali multipli; criteri di integrabilita'; formule di riduzione per integrali doppi e tripli. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine; problema di Cauchy e teroremi di esistenza e unicita' per la soluzione di tale problema. Metodi risolutivi per equazioni del primo ordine. Equazioni lineari di ordine superiore al primo; descrizione algebrica dello spazio delle soluzioni e metodi risolutivi per alcune tipologie di equazioni. Studio di alcune equazioni non-lineari di ordine superiore al primo. Teorema della funzione implicita. Curve e superfici; integrali curvilinei e di superficie. Forme differenziali lineari; criteri per determinare l'esattezza di forme differenziali lineari. Teorema della divergenza; formule di Gauss-Green.