Le basi di Groebner e l'algoritmo di Buchberger.
L'eliminazione di variabili.
Introduzione alle varietà algebriche
Varietà proiettive.
La dimensione e il suo calcolo.
D.Cox, J.Little, D.O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms, Springer 1992, capp. 1,2,3,4,8,9
Sulla pagina Moodle sono disponibili le note del corso.
Obiettivi Formativi
Introduzione costruttiva alla Geometria Algebrica. Apprendere metodi e tecniche computazionali per trattare polinomi e sistemi di equazioni polinomiali. Calcolo simbolico. Apprezzare le differenze del caso lineare con quello non lineare.
Prerequisiti
Algebra lineare e Geometria Analitica. Polinomi, Gruppi, Anelli e Ideali. Lo spazio proiettivo.
Spazi topologici.
Metodi Didattici
Lezioni frontali. Discussione di esempi ed esercizi. Il corso è accompagnato da esercitazioni al computer, con il software Macaulay2 (M2)
http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale. E' consigliato sostenere le prove intermedie che saranno svolte presso il Laboratorio di Informatica con esercitazioni su M2. In alternativa, all'esame orale verrà richiesta la presentazione di un elaborato con il software M2, su una serie di esercizi assegnati al termine del corso.
Programma del corso
Le basi di Groebner e l'algoritmo di Buchberger. Richiami sugli anelli noetheriani e teorema della base. Ordini monomiali e algoritmo di divisione. Ideali monomiali e basi di Groebner. Criterio di Buchberger ed algoritmo di Buchberger. Il problema di appartenenza di un elemento a un ideale.
L'eliminazione di variabili. Il teorema di eliminazione. Intersezione di ideali e algoritmo di calcolo, mcm e MCD. Radicale di un ideale.
Introduzione alle varietà algebriche Definizione di varietà algebrica e corrispondenza tra ideali e varietà. Topologia di Zariski. Il teorema degli zeri di Hilbert (NullStellenSatz). Il risultante. Il teorema di estensione. Interpretazione geometrica dell’eliminazione e Teorema di chiusura. Colorabilità di un grafo via basi di Groebner. Parametrizzazione di varietà algebriche. Equazioni parametriche e cartesiane per varietà algebriche.
Varietà proiettive Ideali omogenei e varietà proiettive. Curve algebriche piane. Morfismi di Segre e scoppiamenti. Eliminazione proiettiva, ideali saturati, varietà complete. Il teorema di Bezout.
Il calcolo della dimensione.Teorema di Macaulay. Funzione e polinomio di Hilbert. Dimensione di una varietà algebrica. Il caso zerodimensionale.
Il corso è accompagnato da esercitazioni al computer, con il software Macaulay2 (M2)
http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/