B005475 - GEOMETRIA I

Lo spazio R^n.
Spazi vettoriali.
Matrici.
Applicazioni lineari.
Applicazioni lineari e matrici.
Determinanti.
Prodotti scalari e ortogonalità.
Matrici e applicazioni bilineari.
Polinomi e matrici.
Triangolazione di matrici e di applicazioni lineari.
Il teorema spettrale.
La forma canonica di Jordan.
Geometria proiettiva.
Geometria affine.
Geometria euclidea.
Coniche e quadriche.

Serge Lang, ALGEBRA LINEARE, Bollati Boringhieri

Gareth Williams, LINEAR ALGEBRA with applications, Jones and Bartlett Mathematics

Nigel Hitchin, Projective Geometry (dispense online)

Il Corso intende fornire conoscenze e capacita` tecniche di base in Algebra lineare e Geometria Analitica e Proiettiva. Gli argomenti sviluppati nel Corso e le capacita` tecniche messe a punto sono necessarie, o comunque molto importanti per il proseguimento degli studi.

Nessuno

Lezioni frontali, esercitazioni.

Prove scritte intermedie, Prova finale scritta e orale.

Lo spazio R^n. Punti del n-spazio; vettori applicati; prodotto scalare canonico; norma di un vettore; perpendicolarità e parallelismo; distanza; geometria euclidea del n-spazio; rette, piani, iperpiani.

Spazi vettoriali. Insiemi di vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti; basi di uno spazio vettoriale; dimensione di uno spazio vettoriale; somme di spazi vettoriali; somme dirette d spazi vettoriali.

Matrici. Lo spazio vettoriale delle matrici; somma e prodotto righe per colonne tra matrici; equazioni lineari; sistemi lineari e matrici; l'algoritmo di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari.

Applicazioni lineari. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare; dimensione del nucleo e dell'immagine; composizione di applicazioni lineari.

Applicazioni lineari e matrici. Applicazione lineare associata ad una matrice; matrice associata ad un'applicazione lineare; composizione di applicazioni lineari e matrici.

Determinanti. Determinanti del secondo ordine; Proprietà dei determinanti; regola di Cramer; esistenza dei determinanti; unicità; determinante della trasposta di una matrice; determinante di un prodotto di matrici; inversa di una matrice; determinante di un'applicazione lineare.

Prodotti scalari e ortogonalità. Prodotti scalari; prodotti scalari definiti positivi; basi ortogonali nel caso generale; spazio duale; caratteristica di una matrice e sistemi di equazioni lineari.

Matrici e applicazioni bilineari. Forme bilineari; forme quadratiche; operatori simmetrici; operatori hermitiani; teorema di Sylvester.

Polinomi e matrici. Polinomi di matrici e di applicazioni lineari; autovettori e autovalori; polinomio caratteristico.

Triangolazione di matrici e di applicazioni lineari. Ventagli; basi a ventaglio; esistenza delle triangolazioni; teorema di Hamilton Cayley; diagonalizzazione di matrici unitarie.

Il teorema spettrale. Autovettori di applicazioni lineari simmetriche; il teorema spettrale; il caso complesso.

La forma canonica di Jordan. Autospazi generalizzati relativi ad un applicazione lineare; forma canonica di Jordan per un'applicazione nilpotente; base di Jordan per un'applicazione nilpotente; base di Jordan e forma canonica di Jordan per un'applicazione lineare.

Geometria proiettiva. Spazi proiettivi; sottospazi proiettivi; il gruppo delle trasformazioni proiettive; punti in posizione generica; teorema di Desargues; teorema di Pappo; dualità.

Quadriche. Forme quadratiche; coniche e quadriche; polarità associata ad una conica; classificazione proiettiva delle coniche; fasci di coniche.

Geometria affine. Il piano affine e lo spazio affine; il gruppo delle affinità; classificazione affine delle coniche.

Geometria euclidea. Il gruppo delle isometrie; classificazione euclidea delle coniche.

Esercizi ed esempi.