Ordini monomiali. Basi di Groebner e algoritmo di Buchberger. Il teorema di eliminazione. Ideali e varieta’ algebriche. Topologia di Zariski. Teorema degli zeri di Hilbert. Equazioni parametriche e cartesiane per varieta’ algebriche. Polinomio di Hilbert e dimensione. Numero delle radici reali di un polinomio. Decomposizione primaria per ideali zero dimensionali. Sistemi polinomiali zerodimensionali e metodo degli autovalori. Estensione a piu’ variabili del teorema di Sylvester.
Introduzione costruttiva alle varieta’algebriche. Apprendere metodi e tecniche computazionali per trattare polinomi ed equazioni polinomiali. Apprezzare le differenze del caso lineare con quello non lineare.
Prerequisiti
Algebra I, Geometria I
Metodi Didattici
ezioni frontali e esercitazioni in laboratorio
Numero di ore totali del corso: 48
Numero di ore per studio personale e altre attivita’ formative di tipo individuale: 102
Altre Informazioni
Il corso ha una pagina su Moodle
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale e preparazione di un programma eseguibile con Macaulay2
Programma del corso
Anelli Noetheriani e Basissatz.
Ordini monomiali e loro proprieta'.
Algoritmo di divisione in piu’ variabile.
Ideali monomiali. Basi di Groebner.
Una base di Groebner genera, forma normale rispetto a un ideale, criterio di appartenenza di un elemento a un ideale.
S-coppie. Lemma tecnico che mostra che ogni cancellazione e' generata da opportune S-coppie.
Criterio di Buchberger. Algoritmo di Buchberger per la costruzione di una base di Groebner.
Esistenza e unicita' di una base di Groebner ridotta.
Il teorema di eliminazione.
Rappresentazione parametrica di varieta’, equazioni di una superficie tangenziale.
Intersezione di ideali e algoritmo di calcolo. mcm e MCD. Prodotto tra ideali. Radicale di un ideale. Definizione di varieta' algebrica V(I).
Ideale associato a un sottoinsieme di K^n. Ideali primi e radicale. Topologia di Zariski.
Enunciato del teorema degli zeri. Risultante.
Il risultante appartiene all'ideale di eliminazione. Il teorema di estensione.
Dimostrazione del teorema degli zeri di Hilbert, nelle forme debole e forte. Algoritmo di consistenza per le soluzioni di un sistema polinomiale.
Teorema di chiusura. Le curve di Fermat.
Parametrizzazioni polinomiali.
Rappresentazioni razionali di varieta’.
Funzione e polinomio di Hilbert. Teorema di Macaulay. Polinomi numerici.
La funzione di Hilbert e’ un polinomio numerico.
Descrizione del quoziente K[x1..xn]/I. Il caso V(I) finito equivale a polinomio di Hilbert costante.
Teorema di Hamilton-Cayley. Polinomio minimo e diagonalizzazione.
Diagonalizzazione simultanea. Autospazi generalizzati.
Matrice compagna e sue proprieta’.
La forma traccia e il teorema cinese dei resti in ambito polinomiale.
Teorema di Sylvester sul numero delle radici reali di un polinomio.
Decomposizione primaria di ideali zero-dimensionali (Lasker-Noether). Autovalori delle matrici compagne in piu’ variabili. Teorema di Stickelberger.
La forma traccia per sistemi zero-dimensionali in piu’ variabili. Numero di radici reali di un sistema zero-dimensionale (generalizzazione a piu’ variabili del teorema di Sylvester).