B005501 - ALGEBRA III

TEORIA DI GALOIS

ALGEBRA COMMUTATIVA

I. M. Isaacs, Algebra: a graduate course, Brooks/Cole Publishing Company, 1994.

M. Atiyah, I. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra; Addison-Wesley Publishing Company, 1969.

Frequenza delle lezioni ed esercitazioni: Raccomandata
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su appuntamento.
Dipartimento di Matematica "Ulisse Dini"
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Orale

(I) Teoria di Galois

Richiami di Teoria di Galois; estensioni algebriche, normali, separabili. Corrispondenza di Galois.

Teorema di Artin. Campi di spezzamento di polinomi separabili sono di Galois.
Teorema dell'elemento primitivo.Teorema di Dedekind (indipendenza automorfismi). Teorema della base normale.
Teorema di traslazione. Campi algebricamente chiusi e chiusure algebriche.
Esistenza e unicita' a meno di isomorfismo di chiusure algebriche.
Radici dell'unita'. Polinomi ciclotomici. Teorema di Gauss. Campi ciclotomici.
Estensioni puramente inseparabili. Transitivita' della separabilita' di estensioni.
Intersezione e composto di estensioni ciclotomiche.
Teorema di struttura dei gruppi di automorfismo di gruppi ciclici finiti. Teorema di Dirichlet. Struttura dei gruppi abeliani finiti. Realizzabilita' di gruppi abeliani finiti come gruppi di Galois sui razionali.

Serie in gruppi. Gruppi risolubili: definizione e prime proprieta'.
Semplicita' dei gruppi alterni A_n, n > 4.

Teorema di Kummer; estensioni multiradicali. Teorema di Galois sulla risolubilita' di equazioni algebriche; corollari.
Gruppi simmetrici come gruppi di Galois di opportune estensioni; risolubilita' per radicali di polinomi di grado primo.
Struttura dei gruppi transitivi risolubili di grado primo. Applicazioni: criterio di risolubilita' per equazioni di grado primo.
Teorema (di Dedekind) sul tipo ciclico di opportuni automorfismi di Galois.

Cenni su: norma e traccia in estensioni separabili; la forma bilineare associata alla traccia e' non degenere.

(II) Algebra Commutativa

Anelli commutativi; ideali e operazioni fra ideali; radicale di un ideale; nilradicale e radicale di Jacobson; teorema cinese dei resti; estensione contrazione di ideali.

Moduli; sottomoduli; omomorfismi; quozienti; operazioni sui sottomoduli; somma diretta; prodotto diretto di anelli; moduli finitamente generati; lemma di Nakayama. Successioni esatte. Prodotto tensoriale di moduli. Proprieta' di esattezza del prodotto tensoriale. Restrizionee estensione degli scalari. Algebre. Prodotto tensoriale di algebre.

Moduli ciclici; spazi vettoriali e endomorfismi con polinomio minimo e caratteristico coincidenti.
Moduli privi di torsione. Moduli liberi. Moduli proiettivi. Moduli proiettivi su su PID sono liberi.
Teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati.

Anelli e moduli di frazioni: definizioni e proprieta'. Estensione e contrazione di ideali in anelli di frazioni.

Decomposizione primaria di ideali.

Dipendenza intera. Ideali primi in estensioni intere. Teoremi di going-up e going-down. Teorema della base intera. Transitivita' del gruppo di Galois sugli ideali sopra un dato primo in anelli di interi di opportune estensioni di Galois.

Condizioni sulle catene.

Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Decomposizione di ideali.

Anelli artiniani: proprieta' e struttura. [AM].

Anelli di valutazione discreta e domini di Dedekind. Teorema di decomposizione per ideali in domini di Dedekind.
Ideali frazionari.