Ordini monomiali. Basi di Groebner e algoritmo di Buchberger. Il teorema di eliminazione. Ideali e varieta’ algebriche. Topologia di Zariski. Teorema degli zeri di Hilbert. Colorabilità di un grafo. Equazioni parametriche e cartesiane per varieta’ algebriche. Numero delle radici reali di un polinomio. Metodo degli autovalori.
Note del docente disponibili su Moodle.
D.Cox, J.Little, D.O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms, Springer 1992, capp. 1,2,3,7,9
D.Cox, J.Little, D.O'Shea, Using Algebraic Geometry, Springer 1998, cap. 2
Obiettivi Formativi
Introduzione costruttiva alle varieta’algebriche. Apprendere metodi e tecniche computazionali per trattare polinomi ed equazioni polinomiali. Apprezzare le differenze del caso lineare con quello non lineare.
Prerequisiti
Algebra I, Geometria I
Metodi Didattici
Lezioni frontali e esercitazioni in laboratorio
Numero di ore totali del corso: 48
Numero di ore per studio personale e altre attivita’ formative di tipo individuale: 102
Altre Informazioni
Il corso ha una pagina su Moodle
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale e preparazione di due programmi eseguibile con Macaulay2, scelti dallo studente su una lista di 4/5 proposti alla fine del corso. L'esame orale approfondisce in modo particolare gli argomenti legati ai programmi scelti.
Programma del corso
Anelli Noetheriani e Basissatz.
Ordini monomiali e loro proprieta'.
Algoritmo di divisione in piu’ variabile.
Ideali monomiali. Basi di Groebner.
Una base di Groebner genera, forma normale rispetto a un ideale, criterio di appartenenza di un elemento a un ideale.
S-coppie. Lemma tecnico che mostra che ogni cancellazione e' generata da opportune S-coppie.
Criterio di Buchberger. Algoritmo di Buchberger per la costruzione di una base di Groebner.
Esistenza e unicita' di una base di Groebner ridotta.
Il teorema di eliminazione.
Rappresentazione parametrica di varieta’, equazioni di una superficie tangenziale.
Intersezione di ideali e algoritmo di calcolo. mcm e MCD. Prodotto tra ideali. Radicale di un ideale. Definizione di varieta' algebrica V(I).
Ideale associato a un sottoinsieme di K^n. Ideali primi e radicale. Topologia di Zariski.
Enunciato del teorema degli zeri. Risultante.
Il risultante appartiene all'ideale di eliminazione. Il teorema di estensione.
Dimostrazione del teorema degli zeri di Hilbert, nelle forme debole e forte. Algoritmo di consistenza per le soluzioni di un sistema polinomiale.
Teorema di chiusura. Le curve di Fermat.
Parametrizzazioni polinomiali.
Rappresentazioni razionali di varieta’.
Descrizione del quoziente K[x1..xn]/I, il caso V(I) finito.
Teorema di Hamilton-Cayley. Polinomio minimo e diagonalizzazione. Autospazi generalizzati.
Matrice compagna e sue proprieta’.
La forma traccia e il teorema cinese dei resti in ambito polinomiale.
Teorema di Sylvester sul numero delle radici reali di un polinomio.