Calcolo differenziale e integrale per funzioni di piu’ variabili reali. Equazioni differenziali ordinarie, del primo ordine e di ordine superiore, lineari e non lineari. Teorema della funzione implicita. Curve e superfici, integrali curvilinei e di superficie. Formule di Gauss-Green e Teorema della divergenza. Serie numeriche. Successioni e serie di funzioni.
Libro di Testo:
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi matematica due, ed. Liguori
Altri testi:
E. Giusti, Analisi matematica 2, ed. Boringhieri.
M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 2, ed. Zanichelli
E. Giusti, Esercizi e complementi di analisi matematica, vol. II, ed. Boringhieri
Obiettivi Formativi
Conoscenze.
Il corso si propone di fornire le conoscenze di base del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni reali di più variabili, delle equazioni differenziali ordinarie e delle serie e successioni di funzioni.
Competenze acquisite:
Gli studenti sono in grado di svolgere correttamente esercizi, anche di natura teorica, relativi ad argomenti proposti nel corso, ed hanno acquisito le principali tecniche dimostrative degli enunciati che fanno parte del programma del corso.
Prerequisiti
Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di 1 variabile reale. Teoria di base delle successioni.
Metodi Didattici
CFU: 12
Numero di ore totali del corso: 300
Numero di ore per studio personale e altre attivita’ formative di tipo individuale: 170
Numero di ore relative alle attivita’ in aula (teoria ed esercitazioni): 130
Numero di ore per prove in itinere: 9
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni: Raccomandata
Strumenti a supporto della didattica UniFi E-Learning: http://e-l.unifi.it
Orario di ricevimento: su appuntamento.
Recapiti:
Dipartimento di Matematica "Ulisse Dini"
Viale Morgagni, 67/A
50134 - Firenze (FI)
L'esame consiste di una prova scritta ed una prova orale, alla quale si accede solo dopo aver superato la prova scritta.
Nella prova scritta vengono proposti alcuni esercizi concepiti per valutare la solidità delle conoscenze di base e la capacità degli studenti di applicare le conoscenze teoriche e tecniche da loro acquisite. Vengono valutate con particolare attenzione sia la correttezza dei procedimenti seguiti, sia l'originalità dei metodi adottati e la loro efficacia. Alcuni degli esercizi, di natura teorica, accerteranno che gli studenti abbiano acquisito le principali tecniche dimostrative degli enunciati che fanno parte del programma del corso.
Nella prova orale vengono poste alcune domande sui risultati presentati e discussi nel corso e sugli esercizi proposti. Il fine è verificare la conoscenza e il grado di comprensione della teoria svolta nel corso. Vengono valutate con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l’uso di un linguaggio matematico appropriato.
Programma del corso
Serie numeriche. Successioni di funzioni; convergenza puntuale e uniforme. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata; continuità del limite uniforme di successioni di funzioni continue. Serie di funzioni; convergenza puntuale, uniforme e totale; relazioni tra i vari tipi di convergenza. Serie di potenze; sviluppo in serie di Taylor; funzioni analitiche e loro proprietà.
Funzioni di più variabili; continuità, derivate parziali; differenziabilità. Ottimizzazione per funzioni di più variabili; studio dei punti critici e metodi per la classificazione dei punti critici. Cenni di teoria della misura nello spazio euclideo n-dimensionale; integrali multipli; criteri di integrabilità; formule di riduzione per integrali doppi e tripli. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine; problema di Cauchy e teoremi di esistenza e unicità per la soluzione di tale problema. Metodi risolutivi per equazioni del primo ordine. Equazioni lineari di ordine superiore al primo; descrizione algebrica dello spazio delle soluzioni e metodi risolutivi per alcune tipologie di equazioni. Studio di alcune equazioni non-lineari di ordine superiore al primo. Teorema della funzione implicita. Curve e superfici; integrali curvilinei e di superficie. Forme differenziali lineari; criteri per determinare l'esattezza di forme differenziali lineari. Teorema della divergenza; formule di Gauss-Green.