Il Corso ha l’obiettivo di fornire agli studenti conoscenze e capacità di comprensione basilari in Analisi Matematica. Il corso intende anche sviluppare le capacità tecniche di base e le capacità critiche necessarie per applicare le conoscenze acquisite alla modellizzazione e risoluzione di problemi matematici in vari ambiti. Particolare attenzione viene posta a sviluppare negli studenti le abilità comunicative necessarie nel lavoro di squadra. Il corso copre argomenti e fornisce capacità di apprendimento che sono necessari, o fortemente consigliati, per il proseguimento degli studi nel CdS e in qualunque ambito scientifico
Prerequisiti
Calcolo algebrico di base. Trigonometria. Logaritmi. Metodi Equazioni e disequazioni polinomiali, razionali, irrazionali, logaritmiche, esponenziali, trigonometricheGeometria analitica elementare nel piano.
Metodi Didattici
Lezioni frontali: esposizione critica della teoria in programma, con interazione diretta docente-studente per facilitare e assicurare la piena comprensione della materia.
Esercitazioni: guida per gli studenti alla modellizzazione e risoluzione di una vasta scelta di problemi di analisi matematica.
Le esercitazioni sono condotte in modo da:
-- aiutare gli studenti a sviluppare le capacità di applicare e comunicare le conoscenze acquisite;
-- migliorare la loro indipendenza di giudizio.
Sono diffuse raccolte di esercizi e di esempi di testi di prove d’esame.
Modalità di verifica apprendimento
Prove intermedie e prova finale scritta: Viene proposta una scelta di esercizi. Le prove sono strutturate per valutare la capacità degli studenti di applicare le conoscenze teoriche e tecniche da loro acquisite alla modellizzazione e alla soluzione di problemi. Vengono valutate con particolare attenzione sia la correttezza dei procedimenti seguiti, sia l'originalità dei metodi adottati e la loro efficacia.
Prova orale: Vengono poste alcune domande. La prova è strutturata per verificare la conoscenza e il grado di comprensione della teoria svolta nel corso. Vengono valutate con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l’uso di un linguaggio matematico appropriato.
Programma del corso
Numeri reali. Assiomi del sistema dei numeri reali. Estremo superiore. Potenze con esponente reale, logaritmi.
Successioni di numeri reali. Limiti di successioni. Teoremi fondamentali sui limiti. Successioni monotone e numero di Nepero. Successioni di Cauchy.
Limite superiore e inferiore.
Funzioni reali di una variabile reale. Limiti. Teorema del collegamento tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Teoremi fondamentali sui limiti. Limiti destro e sinistro. Funzioni monotone. Limite superiore e inferiore.
Funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Punti di discontinuità. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue. Teoremi sulle funzioni continue su intervalli.
Funzioni uniformemente continue, Lipschitziane e Hoelderiane.
Calcolo differenziale. Derivata di una funzione. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale per funzioni definite su intervalli. Teoremi di De l'Hopital. Formula di Taylor. Funzioni convesse.
Calcolo integrale. Definizione di integrale definito alla Riemann. Proprietà elementari dell’integrale. Criteri di integrabilità. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali indefiniti.
Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali.
Serie numeriche. Criteri di convergenza per serie a termini positivi. Criteri di convergenza per serie a termini di segno arbitrario.