Modelli discreti e continui: variabili aleatorie loro distribuzioni esempi e applicazioni. Funzioni di ripartizione e di densità, leggi congiunte, indipendenza, e probabilità condizionata. Momenti, funzioni generatrici della probabilità e funzioni caratteristiche. Convergenza e approssimazione: Legge dei grandi numeri, teorema del limite centrale e collegamenti alla statistica. Processo di Poisson.
Adottato:
-Baldi, Calcolo delle probabilita`
Consigliati:
-S. Ross, Calcolo delle probabilita`
-Caravenna e Dai Pra, Probabilità
Obiettivi Formativi
Il Corso ha l’obiettivo di fornire agli studenti le conoscenze, la capacità di comprensione e applicazione dei concetti e risultati su variabili casuali discrete e continue per calcolare delle probabilità richieste da situazioni concrete e calcolare le leggi (o distribuzioni) di variabili aleatorie unidimensionali e multidimensionali per modelli noti e per variabili casuali che non rientrano nei modelli noti. Corso ha l’obiettivo di fornire agli studenti conoscenze e capacità di comprensione dei teoremi limite con la loro dimostrazione ed di essere in grado di applicarli a problemi concreti per eeffettuare stime di probabilità che non possono essere calcolate esattamente.
Il Corso ha l’obiettivo di fornire le conoscenze e la capacità di comprensione dei processi di Poisson e le catene di Markov con spazio degli stati finiti che sono alla base del metodo Monte Carlo. Il corso intende anche sviluppare le capacità tecniche di base e le capacità critiche necessarie per applicare le conoscenze acquisite al fine di risolvere esercizi che richiedono la modellizzazione di una situazione concreta con questi processi. Particolare attenzione viene posta a sviluppare negli studenti le abilità comunicative necessarie per esprimere le conoscenze acquisite in linguaggio matematico corretto e per giustificare in modo chiaro e logico gli esercizi svolti.
Prerequisiti
Derivazione e integrazione di funzioni in una o piu` variabili. Nozioni di base di algebra lineare e saper operare con le matrici.
Metodi Didattici
Lezione frontale, discussione e correzione di esercizi assegnati per casa.
Modalità di verifica apprendimento
L'esame consiste in uno scritto ed un orale per sessione. Nello scritto saranno presenti domande aperte in cui lo studente dovra` dimostrare di saper applicare i risultati spiegati a lezione per risolvere problemi, dandone giustificazione usando formule e un linguaggio scientifico corretto. In particolare, lo studente dovra` saper distinguere a seconda del problema quali modelli probabilistici sono piu` adatti alla situazione concreta presentata nell'esercizio.
Nell' orale lo studente dovra` esporre le definizioni, gli enunciati e le dimostrazioni dei risultati spiegati durante le lezioni, con lo scopo di verificare la conoscenza, comprensione e la capacita` di apprendimento. Sara` inoltre valutata la qualita` dell'esposizione ddei risultati e il linguaggio matematico, rigoroso utilizzato.
Inoltre, agli studenti che lo scelgono, sara` data la possibilita` di effettuare prove parziali che, se superate entrambe, permetteranno di essere esonerati dallo scritto.
Programma del corso
-Spazi di probabilita`: Definizione di spazi di probabilita`, anche nel caso uniforme, proprieta` generali, probabilita` condizionale, indipendenza, calcolo combinatorio.
-Modelli discreti: variabili aleatorie discrete e loro distribuzioni, funzioni di ripartizione, leggi congiunte e indipendenza, calcoli con densita`, speranza matematica, momenti, varianza e covarianza, legge dei grandi numeri, funzioni generatrici delle probabilita`. Distribuzione discreta uniforme, Bernoulli, binomiale, Poisson, geometrica, ipergeometrica,binomiale negativa, multinomiale,
-Modelli continui: variabili aleatorie continue, loro densita` e loro funzione di ripartizione con proprieta`. Calcolo di leggi, densita` congiunte e calcolo con densita` congiunte, speranza matematica, momenti. Leggi normali, Gamma. Tempi di attesa e processo di Poisson. Generatori aleatori, simulazione. Speranza condizionale, funzione generatrici di momenti e trasformata di Laplace. Funzioni caratteristiche e Leggi normali multivariate.
-Convergenza e approssimazione. Legge dei grandi numeri, convergenza in legge e teorema del limite centrale. Cenni alla statistica e ai problemi di stima puntuale, di intervallo e Test d'ipotesi.
-Catene di Markov, definizioni e generalita`, calcolo di leggi congiunte, classificazione degli stati, probabilita` invarianti, L'algoritmo di Metropolis, simulated annealing, problemi di passaggio.