B005475 - GEOMETRIA I

Italiano

Lo spazio R^n.
Spazi vettoriali.
Matrici.
Applicazioni lineari.
Applicazioni lineari e matrici.
Determinanti.
Prodotti scalari e ortogonalità.
Matrici e applicazioni bilineari.
Polinomi e matrici.
Triangolazione di matrici e di applicazioni lineari.
Il teorema spettrale.
La forma canonica di Jordan.
Geometria proiettiva.
Geometria affine.
Geometria euclidea.
Coniche e quadriche.

Serge Lang, ALGEBRA LINEARE, Bollati Boringhieri

Marco Abate, GEOMETRIA, McGraw-Hill

W. Keith Nicholson, ALGEBRA LINEARE - DALLE APPLICAZIONI ALLA TEORIA, McGraw-Hill

Gareth Williams, LINEAR ALGEBRA WITH APPLICATIONS, Jones and Bartlett Mathematics

Nigel Hitchin, PROJECTIVE GEOMETRY, https://people.maths.ox.ac.uk/hitchin/hitchinnotes/hitchinnotes.html

Il corso ha l’obiettivo di fornire agli studenti conoscenze e capacità di comprensione basilari in Algebra lineare, Geometria Analitica e Geometria Proiettiva. Il corso intende anche sviluppare le capacità tecniche di base e le capacità critiche necessarie per applicare le conoscenze acquisite alla modellizzazione e risoluzione di problemi matematici in vari ambiti. Particolare attenzione viene posta a sviluppare negli studenti le abilità comunicative necessarie nel lavoro di squadra. Il corso copre argomenti e fornisce capacità di apprendimento che sono necessari, o fortemente consigliati, per il proseguimento degli studi nel CdS e in qualunque ambito scientifico.

Nozioni di base di algebra e geometria previste nei programmi delle scuole secondarie superiori.

Lezioni frontali: esposizione critica della teoria in programma, con interazione diretta docente-studente per facilitare e assicurare la piena comprensione della materia.

Esercitazioni: guida per gli studenti alla modellizzazione e risoluzione di una vasta scelta di problemi in Algebra Lineare, Geometria Analitica e geometria Proiettiva. Le esercitazioni sono condotte in modo da:

-- aiutare gli studenti a sviluppare le capacità di applicare e comunicare le conoscenze acquisite;
-- migliorare la loro indipendenza di giudizio.

Piattaforma Moodle: sviluppo dell’interazione online docente-studente; diffusione di dispense integrative, di esercizi settimanali e di testi delle prove scritte degli anni passati.

Nota: i testi e le dispense proposti o consigliati contengono materiale di approfondimento importante per il prosieguo degli studi nel CdS e in qualunque ambito scientifico.

Prove scritte intermedie e finali: si propone una scelta di esercizi. Le prove sono strutturate per valutare la capacità degli studenti di applicare le conoscenze teoriche e tecniche da loro acquisite alla modellizzazione e alla soluzione di problemi. Si valutano con particolare attenzione sia la correttezza dei procedimenti seguiti, sia l'originalità dei metodi adottati e la loro efficacia.

Prova orale: si pongono alcune domande. La prova è strutturata per verificare la conoscenza e il grado di comprensione della teoria svolta nel corso. Si valutano con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l’uso di un linguaggio matematico appropriato.

Lo spazio R^n. Punti del n-spazio; vettori applicati; prodotto scalare canonico; norma di un vettore; perpendicolarità e parallelismo; distanza; geometria euclidea del n-spazio; rette, piani, iperpiani.

Spazi vettoriali. Insiemi di vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti; basi di uno spazio vettoriale; dimensione di uno spazio vettoriale; somme di spazi vettoriali; somme dirette d spazi vettoriali.

Matrici. Lo spazio vettoriale delle matrici; somma e prodotto righe per colonne tra matrici; equazioni lineari; sistemi lineari e matrici; l'algoritmo di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari.

Applicazioni lineari. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare; dimensione del nucleo e dell'immagine; composizione di applicazioni lineari.

Applicazioni lineari e matrici. Applicazione lineare associata ad una matrice; matrice associata ad un'applicazione lineare; composizione di applicazioni lineari e matrici.

Determinanti. Determinanti del secondo ordine; Proprietà dei determinanti; regola di Cramer; esistenza dei determinanti; unicità; determinante della trasposta di una matrice; determinante di un prodotto di matrici; inversa di una matrice; determinante di un'applicazione lineare.

Prodotti scalari e ortogonalità. Prodotti scalari; prodotti scalari definiti positivi; basi ortogonali nel caso generale; spazio duale; caratteristica di una matrice e sistemi di equazioni lineari.

Matrici e applicazioni bilineari. Forme bilineari; forme quadratiche; operatori simmetrici; operatori hermitiani; teorema di Sylvester.

Polinomi e matrici. Polinomi di matrici e di applicazioni lineari; autovettori e autovalori; polinomio caratteristico.

Triangolazione di matrici e di applicazioni lineari. Ventagli; basi a ventaglio; esistenza delle triangolazioni; teorema di Hamilton Cayley; diagonalizzazione di matrici unitarie.

Il teorema spettrale. Autovettori di applicazioni lineari simmetriche; il teorema spettrale; il caso complesso.

La forma canonica di Jordan. Autospazi generalizzati relativi ad un applicazione lineare; forma canonica di Jordan per un'applicazione nilpotente; base di Jordan per un'applicazione nilpotente; base di Jordan e forma canonica di Jordan per un'applicazione lineare.

Geometria proiettiva. Spazi proiettivi; sottospazi proiettivi; il gruppo delle trasformazioni proiettive; punti in posizione generica; teorema di Desargues; teorema di Pappo; dualità.

Quadriche. Forme quadratiche; coniche e quadriche; polarità associata ad una conica; classificazione proiettiva delle coniche; fasci di coniche.

Geometria affine. Il piano affine e lo spazio affine; il gruppo delle affinità; classificazione affine delle coniche.

Geometria euclidea. Il gruppo delle isometrie; classificazione euclidea delle coniche.

Esercizi ed esempi.