Teoria della misura e dell’integrale di Lebesgue. Sistemi ortonormali in spazi di Hilbert. Proprietà topologiche e geometriche degli spazi di Lebesgue. Elementi sulle funzioni olomorfe.
R. Magnanini, Dispense di Analisi Matematica III, scaricabili da http://web.math.unifi.it/users/magnanin/Istit/a3gsm15.pdf
Obiettivi Formativi
Conoscenze: Le idee fondamentali dell'analisi reale; in particolare, le nozioni di misura di insiemi e di integrale sulla base dei principi stabiliti per la teoria di Lebesgue all'inizio del Novecento. Le idee di base di analisi funzionale, come il concetto di ortogonalità in uno spazio di Hilbert e le proprietà geometriche e topologiche degli spazi di Lebesgue di funzioni con potenza sommabile. Le proprietà di base delle funzioni olomorfe di una variabile complessa.
Competenze acquisite: Familiarità con le tecniche proposte, come per esempio i teoremi di convergenza; Fubini; Ascoli-Arzelà; Riesz; Banach-Alaouglu; la formula di Cauchy; il teorema dei residui, e con qualche loro applicazione.
Capacità acquisite (al termine del corso): Lo studente deve essere in grado di enunciare, dimostrare e applicare i principali risultati dell'analisi reale e complessa e della teoria degli spazi di Lebesgue e di risolvere esercizi e problemi ad esse inerenti.
Prerequisiti
Corsi vincolanti: Analisi Matematica I and II, Geometria I.
Metodi Didattici
CFU: 9
Numero di ore totali del corso (incluse lezioni, seminari, studio indipendente, esami, ecc.): 224
Numero di ore per studio personale e altre attività formative di tipo individuale: 140
Numero di ore relative alle attività in aula: 76
Numero di ore relative ad attività di laboratorio: 0
Numero di ore relative ad attività di esercitazioni (in laboratorio e in campo): 0
Numero di ore relative ad attività seminariali: 0
Numero di ore relative ad attività di stage: 0
Numero di ore per prove in itinere: 8
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni: Raccomandata
Strumenti a supporto della didattica UniFi E-Learning: https://e-l.unifi.it/course/view.php?id=6902
Orario di ricevimento:
Su appuntamento.
Modalità di verifica apprendimento
Prove intermedie e prova finale scritta: Viene proposta una scelta di esercizi. Le prove sono strutturate per valutare la capacità degli studenti di applicare le conoscenze teoriche e tecniche da loro acquisite. Vengono valutate con particolare attenzione sia la correttezza dei procedimenti seguiti, sia l'originalità dei metodi adottati e la loro efficacia.
Prova orale: Vengono poste alcune domande. La prova è strutturata per verificare la conoscenza e il grado di comprensione della teoria svolta nel corso. Vengono valutate con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l’uso di un linguaggio matematico appropriato.
Programma del corso
Teoria della misura e dell'integrale di Lebesgue.
Misura di aperti e compatti nello spazio euclideo e sue proprietà.
Insiemi Lebesgue misurabili e loro misura.
Proprietà fondamentali degli insiemi misurabili (unione numerabile, intersezione e differenza).
Additività numerabile della misura di Lebesgue.
Successioni di insiemi misurabili.
Esempi: insieme Lebesgue misurabile non misurabile secondo Peano-Jordan; insieme e funzione di Cantor; insieme aperto di misura piccola con frontiera di misura infinita; insieme di Vitali (non misurabile secondo Lebesgue).
Spazi misurabili, sigma-algebre, misure positive.
Esempi di misure: misura che conta, delta di Dirac.
Funzioni misurabili e loro proprietà.
Funzioni semicontinue.
Funzioni semplici.
Approssimazione di funzioni misurabili con funzioni semplici.
Integrale di una funzione misurabile non negativa e proprietà elementari.
Teorema di Beppo Levi sulla convergenza monotona.
Lemma di Fatou.
Additività numerabile dell'integrale di funzioni non negative.
Integrale di funzioni sommabili e sue proprietà.
Assoluta continuità dell'integrale.
Teorema di Lebesgue della convergenza dominata.
Confronto tra integrale di Riemann ed integrale di Lebesgue.
I teoremi di Fubini e Tonelli.
Teorema di Carathéodory.
La misura di Hausdorff.
Definizione di spazio di Hilbert.
Sistemi ortonormali.
Disuguaglianza di Bessel.
Basi hilbertiane ed identità di Parseval.
Risultati di base sulle funzioni convesse.
Funzioni convesse e concave di una variabile reale e loro proprietà rispetto a limite ed ordine.
Monotonia del rapporto incrementale di una funzione convessa.
Derivate di funzioni convesse.
Retta di supporto.
Disuguaglianze di Jensen e Young. Medie aritmetica e geometrica.
Spazi Lp.
Disuguaglianza di Holder.
Disuguaglianza di Minkowski.
Estremo superiore essenziale e spazio delle funzioni essenzialmente limitate.
Lp è uno spazio lineare normato.
Lp è completo.
Definizioni di spazio di Banach e di Hilbert.
Disuguaglianze di Clarkson e uniforme convessità.
Differenziabilità della norma.
Proiezione su insiemi chiusi e convessi.
Funzionali lineari e continui su Lp e convergenza debole.
I funzionali lineari separano.
Semicontinuità inferiore della norma.
Il duale di Lp: teorema di rappresentazione di Riesz.
Convoluzioni. Disuguaglianza di Young con q=1 e p=r.
Approssimazione mediante funzioni semplici e funzioni C-infinito a supporto compatto.
Supporto di una funzione misurabile.
Separabilità di Lp.
Gli insiemi limitati di Lp sono debolmente compatti.
Le convoluzioni di funzioni in spazi duali sono continue.
Gli spazi L1 e L-infinito.
Il teorema di Ascoli-Arzelà.
Confronti tra convergenze:
Teorema di Egorov-Severini.
Teorema di Lusin.
Convergenza in misura.
Confronti tra convergenze: in misura, quasi ovunque, in norma Lp e debole in Lp.
Definizione di funzione olomorfa di una variabile complessa.
Equazioni di Cauchy-Riemann.
Funzioni olomorfe elementari.
Teoremi di Cauchy, Morera, Goursat.
Formula integrale di Cauchy.
Analiticità delle funzioni olomorfe e principio del prolungamento unico.
Teorema del massimo modulo.
Serie di Laurent.
Teorema dei residui e principio dell'argomento.
Calcolo di integrali impropri con il teorema dei residui.