B005473 - ALGEBRA I

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Strumenti di base del linguaggio e della tecnica matematica dal punto di vista astratto: insiemi, relazioni, applicazioni, equivalenze. Rivista di parti dell'aritmetica. Introduzione alla struttura algebrica di anello. Ideali, omomorfismi, quozienti, anelli di polinomi.

Dispense del Corso, reperibili in:
http://web.math.unifi.it/users/casolo/dispense/algebra1_17.pdf

Gli obiettivi del corso sono:
1. Acquisizione e utilizzo di nozioni e concetti di base del linguaggio matematico, comuni a tutti i corsi del CdL in matematica.
2. Acquisizione delle conoscenze e delle capacità di base relativamente alle strutture algebriche (anelli) che regolano numeri e polinomi.

Il Corso si propone inoltre l'affinamento delle disposizioni critiche, dell'attenzione formale, dell'esposizione corretta, e della capacità di procedere per astrazione (enucleando i caratteri significativi di un problema) nella risoluzione di problemi in vari ambiti matematici.

Si tratta di un corso del primo anno, e non presuppone alcun prerequisito universitario.

Lezioni frontali alla lavagna, strumento che consente una interazione diretta con gli studenti.
Le esercitazioni si realizzano mediante discussione e risoluzione in aula di esercizi suggeriti (le dispense contengono numerosi problemi di diversa e graduata difficoltà).

La verifica avviene mediante prove scritte, intermedie, oppure finali, e prove orali (solo finali).

Le prove scritte consistono in una scelta di esercizi, pensati per valutare, in modo graduale di difficoltà, la capacità degli studenti di verificare le definizioni, applicare le proprietà apprese e condurre argomentazioni autonome ed efficaci.

Prova orale: Vengono poste alcune domande. La prova è strutturata per verificare la conoscenza e il grado di comprensione della teoria svolta nel corso. Vengono valutate con particolare attenzione l’uso di un linguaggio matematico preciso, l'acquisizione delle tecniche dimostrative e la capacità di connettere argomenti diversi.

Prima parte: Insiemi, operazioni tra insiemi, prodotto cartesiano; applicazioni, biezioni, composizione di applicazioni, applicazioni inverse.
Numeri interi: principio di induzione , rappresentazioni b-adiche, divisioni, MCD e formula di Binet, numeri primi, teorema fondamentale dell’aritmetica, algoritmo di Euclide, insiemi finiti, coefficienti binomiali, formula di Newton. Introduzione ai numeri complessi.
Operazioni binarie, relazioni d’equivalenza, insieme quoziente, partizioni, relazioni d’ordine, insiemi parzialmente ordinati, massimi, minimi, massimali, minimali, estremi inf e sup.
Cardinalità di un insieme, numerabilità di Q, Teorema di Cantor.
Equazioni diofantee di primo grado, congruenze, classi di congruenza, insieme quoziente, compatibilità con le operazioni, piccolo teorema di Fermat, equazioni alle congruenze di primo grado, teorema Cinese del resto.

Seconda parte: Anelli, proprietà, potenze, multipli, sottoanelli, elementi invertibili, divisori dello zero. Domini d’integrità, campi, prodotti diretti di anelli. Ideali, ideali di Z, ideali principali, somma di ideali, ideali di un campo. Omomorfismi e isomorfismi, immagine e nucleo,
Anelli notevoli: classi di congruenza, invertibili e divisori dello zero di Z/nZ, caratteristica di un anello, campo delle frazioni di un dominio d’integrità Divisibilità e ideali principali, elementi irriducibili e primi, fattorizzazioni. Domini a Fattorizzazione Unica e loro caratterizzazione, deali massimali e ideali primi, ideali massimali e primi in Z e nei Domini a Ideali Principali e Domini euclidei. Ogni Dominio a Ideali Principali è fattoriale. Interi di Gauss, somme di quadrati.
Anello dei polinomi, grado,
principio di sostituzione, costruzione formale dell’anello dei polinomi e di quello delle serie formali. Divisione euclidea per polinomi. Se F è un campo F[x] è un dominio euclideo, algoritmo di Euclide per polinomi, fattorizzazioni di polinomi. Teorema di Ruffini, numero di radici distinte, polinomi irriducibili. Teorema di Wilson. Polinomi primitivi, lemma di Gauss, fattorizzazioni in Z[x] ed in Q[x], criterio di Eisenstein. Anelli quoziente: quozienti modulo ideali primi ed ideali massimali. Teorema di omomorfismo e Teorema di corrispondenza, ideali di un anello quoziente. Quozienti in un PID ed in F[x], ideali massimali ed elementi irriducibili, descrizione degli elementi dei quozienti, esempi di campi finiti. Estensioni semplici.